Morzillo escribió:Hola, ¿cómo andan? Hacía tiempo que no entraba a cyberateos.
Bueno, si conocen la paradoja de Russell, les quería preguntar si tiene solución y cuál es.
Si no la conocen, se las cuento, está muy buena:
La paradoja de Russell trata sobre conjuntos. Podemos clasificar a todos los conjuntos en 2 clases: los que se contienen a sí mismos y los que no se contienen a sí mismos.
Los conjuntos mas comunes son conjuntos que no se contienen a sí mismos, por ejemplo el conjunto de todos los libros del mundo no se contiene a sí mismo, porque el conjunto no es un libro. A ese tipo de conjuntos (que NO se contienen a sí mismos) se le dice "conjuntos normales".
Pero también existen conjuntos un poco mas raros, que se contienen a sí mismos, o sea, que el mismo conjunto es uno de los elementos que lo forman. Por ejemplo, pensemos en el conjunto de todas las cosas que NO son manzanas. ¿Ese conjunto es una manzana? No, por lo tanto es un elemento de él mismo. ¿se entiende? Otro ejemplo podría ser el conjunto de todos los conjuntos. Se contiene a sí mismo, porque por ser un conjunto es un elemento de él mismo. A este 2do tipo de conjuntos (que se contienen a sí mismos) se les dice "conjuntos singulares".
Cada conjunto o bien es normal, o bien es singular. ¿por qué? porque o se contiene a sí mismo, o no se contiene a si mismo, no hay término medio. Tampoco puede ser normal y singular a la misma ves, y tampoco puede ser que no sea ni normal ni singular. O se contiene, o no se contiene. O es normal o es singular.
Y aquí viene la paradoja:
Piensen en el conjunto de los conjuntos normales. A ese conjunto llamémosle "C".
La pregunta es: ¿C es normal o singular? (antes de seguir leyendo piénsenlo ustedes mismos)
Bueno, supongamos que C fuese normal. Si C es normal, C tiene que estar dentro de C, porque C es el conjunto de todos los conjuntos normales. Pero si C está dentro de C, estamos diciendo que se contiene a sí mismo, o sea que no puede ser normal. Llegamos a un absurdo. Seguramente ustedes estarán pensando: "ah, bien, entonces si no es normal, es sigular". Bueno, entonces supongamos que C fuese singular. Si C es singular, no es normal. Por lo tanto, C no está dentro de C. Pero si C no está dentro de C significa que C es normal, o sea que no es singular. Llegamos a otro absurdo!!!
Por los 2 lados se llega a un absurdo!!!
¿entienden?
saludos!
A pesar de ser una paradoja muy conocida, no deja de ser otra paradojas semánticas. Y estas paradojas poseen solución ya que le problema está en dar vercidad al enunciado.
De hecho la distinción entre lenguaje objeto y metalenguaje fue introducida por Alfred Tarski como una solución a las paradojas semánticas como la paradoja del mentiroso.Según Tarski, ningún lenguaje puede contener su propio predicado de verdad y permanecer consistente. Para hablar acerca de la verdad en un lenguaje, y no generar contradicciones, es necesario hacerlo desde un lenguaje distinto, con mayor poder expresivo: el metalenguaje.
Pero hablemos en concreto de la paradoja de Russel o más conocida como la paradoja del Barbero. Primero un poco de historia
La paradoja de Russell o paradoja del barbero, descrita por Bertrand Russell en 1901, demuestra que la teoría original de conjuntos formulada por Cantor y Frege es contradictoria.
Supongamos un conjunto que consta de conceptos que no son miembros de sí mismos. Un ejemplo descrito, es el conjunto que consta de "ideas abstractas" es miembro de sí mismo porque el conjunto es él mismo una idea abstracta, mientras que un conjunto que consta de "libros" no es miembro de sí mismo porque el conjunto no es un libro. En su paradoja, Russell preguntaba (en carta escrita a Frege en 1902), si el conjunto de los conjuntos que no forman parte de ellos mismos forma parte de sí mismo. Si forma parte de sí mismo, pertenece al tipo de conjuntos que sí forman parte de sí mismos.
Enunciemos la paradoja de otra forma: llamemos M a "el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos como miembros". Entonces, M es un elemento de M si y sólo si M no es un elemento de M, lo cual es absurdo.
Un desarrollo más formal se presenta en Teoría Intuitiva de Conjuntos.
La paradoja de Russell ha sido expresada en varios términos más cotidianos, el más conocido es la paradoja del barbero
«el barbero de esta ciudad, que afeita sólo a todos los hombres que no se afeitan a sí mismos, ¿se afeita a sí mismo?»EXPLICACIÓN DE LA PARADOJALos conjuntos son reuniones de cosas, por ejemplo de coches, libros, personas, etc... y en este sentido los llamaremos
conjuntos normales.La característica principal de un conjunto normal es que no se contienen a sí mismos.Pero también existen conjuntos de conjuntos, como 2M, que es el conjunto de subconjuntos de M.
Un conjunto de conjuntos es normal salvo si podemos hacerlo que se contenga a sí mismo.
Esto último no es difícil, si tenemos el conjunto de todas las cosas que NO son libros y como un conjunto no es un libro, el conjunto de todas las cosas que NO son libros formará parte del conjunto de todas las cosas que NO son libros.
Estos conjuntos que se contienen a sí mismos se llaman
conjuntos singulares.
Está claro que un conjunto dado o bien es normal o bien es singular, no hay término medio. O se contiene a sí mismo o no se contiene.
Ahora tomemos el conjunto C como el conjunto de todos los conjuntos normales. ¿Qué clase de conjunto es C? ¿Normal o Singular?
Si es normal, estará dentro del conjunto de conjuntos normales, que es C luego ya no puede ser normal. Si es singular, no puede estar dentro del conjunto de conjuntos normales, luego no puede estar en C, pero si no está en C entonces es normal.
Cualquier alternativa nos produce una contradicción, ésta es la paradoja.
Pero nna solución radical al problema de las paradojas es la propuesta en 1903 por el propio Russell, su Teoría de Tipos. Observa que en todas las paradojas conocidas hay una componente de reflexividad, de
circularidad.
Técnicamente se evitan las paradojas al eliminar del lenguaje las formaciones circulares. Se reconoce que nuestro universo matemático no es plano, sino jerarquizado, por niveles, y que el lenguaje más adecuado para hablar de un universo debe tener diversos tipos de variables que correspondan a cada nivel; en particular, la relación de pertenencia se dá entre objetos de distinto nivel. En 1908 Zermelo da como solución la definición axiomática de la Teoría de Conjuntos, refinada más tarde por Fraenkel, Skolem, von Neumann y otros. En esta teoría se evita que las colecciones que llevaban a las paradojas puedan ser conjuntos. De hecho, en la solución de Zermelo-Fraenkel, una colección de objetos será un conjunto si los axiomas la respaldan. Dichos axiomas permiten formar conjuntos a partir de conjuntos previamente construídos y postulan la existencia del ∅ y de al menos un conjunto infinito. Sin embargo, en la solución de von Neumann se admiten colecciones que no son conjuntos, las denominadas clases últimas. Se definen clases mediante propiedades, sin restricción, pero habrá que mostrar que se trata de conjuntos viendo que pertenecen a alguna clase. Las clases últimas, como la clase universal o la de los ordinales, no pertenecen a ninguna otra clase.
Solución lógico- matemática:En la sintaxis lógica el significado de un signo no debería tener nunca importancia; debe poder inferirse sin tener que mencionar el significado del signo, sólo debe presuponer la descripción de las expresiones.
A partir de esta observación nos volvemos hacia la "Teoría de los tipos" de Russell. La equivocación de Russell se muestra en que para la determinar las reglas para los signos tuvo que de su significado.
Ninguna proposición puede declarar algo acerca de sí misma, puesto que el signo proposicional no puede estar contenido dentro de sí mismo (ésta es toda la "Teoría de los tipos").
Una función no puede ser su propio argumento porque el signo para una función ya contiene el prototipo de su argumento y éste no puede contenerse a sí mismo. Supongamos por ejemplo que la función F(fx) pudiera ser su propio argumento; entonces existiría una proposición "F(F(fx))" y en ésta deberían tener diferente significado la función F exterior y la función F interior, puesto que la interior tiene la forma O(f(x)) y la exterior tiene la forma Y(O(fx)). Sólo la letra "F" es común a las dos funciones, pero la letra por sí misma no significa nada. Esto se vuelve inmediatamente claro, cuando en lugar de "F(Fu)" escribimos '(do) : F(Ou) . Ou = Fu'. Así acabamos con la paradoja de Russell.
Las reglas de la sintaxis lógica deben ser evidentes por sí mismas, una vez que sepamos qué significa cada signo individual.